Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 19

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 19 (EN VIII, original)

Variantă scrisă pe blueprintul oficial, poziție cu poziție: putere cu exponent impar a unui număr negativ, scumpire cu 15% (procentul nu e o sumă de bani), singurul întreg dintr-un interval deschis cu capete fracționare, $2^{a+2} = 2^a \cdot 2^2$, slotul „patru elevi au calculat" pe $1/2 + 1/3$ (cu greșeala numitorilor adunați), media dintr-un tabel de vânzări, mijlocul mijlocului unui segment, unghiuri opuse la vârf cu necunoscută în măsură, cateta opusă unghiului de 30°, perimetrul rombului din diagonale, aria sectorului de 120°, aria totală a tetraedrului regulat, problemă cu trei necunoscute legate rezolvată prin ecuație, $(x+1)(x-1) - (x-2)^2 = 4x - 5$ cu inecuație pe naturale, intersecția graficelor a două funcții, triunghi înscris în semicerc 12–16–20 (rază + înălțimea din unghiul drept), trapez isoscel 20/8/10 (înălțime + arie + perimetru), prismă triunghiulară regulată (arie bază, arie laterală, volum).

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 15 minute — Subiectele I și II, împreună, sub 30 de minute.

Ex. 1Rezultatul calculului $(- 2)^{3} + 3 \cdot 5$ este:
1. A)-23
2. B)7
3. C)9
4. D)23
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Două lucruri de urmărit. Semnul: $(- 2)^{3} = - 2 \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8$ — exponent impar, deci rezultatul rămâne negativ. Ordinea: puterea și înmulțirea se fac înaintea adunării, deci $- 8 + 15 = 7$ .
Rezolvare completă
Ex. 2Un produs care costa 200 de lei s-a scumpit cu 15%. Noul preț al produsului este:
1. A)170
2. B)215
3. C)230
4. D)300
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Calculez întâi creșterea: $15% din 200 = \frac{15}{100} \cdot 200 = 30$ lei. Noul preț: $200 + 30 = 230$ lei. Pe scurtătură: o scumpire cu 15% înseamnă înmulțirea cu $1, 15$ , iar $200 \cdot 1, 15 = 230$ ✓. Un procent nu este niciodată o sumă de bani — el se aplică pe ceva.
Rezolvare completă
Ex. 3Singurul număr întreg din intervalul $(\frac{7}{4}, \frac{9}{4})$ este:
1. A)1
2. B)2
3. C)3
4. D)4
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Transform capetele în zecimale: $\frac{7}{4} = 1, 75$ și $\frac{9}{4} = 2, 25$ . Între ele încape un singur întreg, $2$ . Parantezele rotunde arată că numerele de la capete nu fac parte din interval, dar aici nici nu contează: 1,75 și 2,25 nu sunt întregi oricum.
Rezolvare completă
Ex. 4Se știe că $2^{a} = 3$ , unde a este număr real. Valoarea lui $2^{a + 2}$ este:
1. A)5
2. B)6
3. C)9
4. D)12
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Desfac exponentul cu regula $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ : $2^{a + 2} = 2^{a} \cdot 2^{2}$ . Înlocuiesc ce știu: $3 \cdot 4 = 12$ . Merită reținută deosebirea dintre cele două forme: $2^{a + 2}$ se desface în produs, iar $2^{2 a}$ se scrie $(2^{a})^{2} = 9$ .
Rezolvare completă
Ex. 5Patru elevi, Alin, Bianca, Cosmin și Dana, au calculat suma $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ și au obținut rezultatele din tabel. Elevul care a calculat corect este:
1. A)Alin
2. B)Bianca
3. C)Cosmin
4. D)Dana
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Numitorul comun al lui 2 și 3 este 6. Amplific fiecare fracție: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ și $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ . Abia acum se adună numărătorii: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ . Un control de bun-simț: suma a două numere pozitive trebuie să fie mai mare decât fiecare dintre ele, deci 2/5 și 1/6 se puteau elimina imediat — sunt mai mici decât 1/2.
Rezolvare completă
Ex. 6Tabelul de mai jos arată câte biciclete a vândut un magazin în fiecare dintre cele patru luni ale unui sezon. Numărul mediu de biciclete vândute pe lună este:
1. A)15
2. B)17,5
3. C)18
4. D)70
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Media aritmetică = suma valorilor împărțită la numărul lor: $\frac{12 + 18 + 25 + 15}{4} = \frac{70}{4} = 17, 5$ . Media poate fi un număr zecimal chiar dacă toate datele sunt întregi — nu e o greșeală și nu se rotunjește dacă nu ți se cere.
Rezolvare completă

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Figurile sunt orientative, nu la scară.

Ex. 1Segmentul AB are lungimea de 20 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB, iar punctul N este mijlocul segmentului AM. Lungimea segmentului NB este:
1. A)5 cm
2. B)10 cm
3. C)15 cm
4. D)25 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Merg pas cu pas, dinspre A. M este mijlocul lui AB, deci $A M = 10$ cm. N este mijlocul lui AM, deci $A N = 5$ cm. Cum N se află între A și B, avem $N B = A B - A N = 20 - 5 = 15$ cm. „Mijlocul mijlocului" dă un sfert din segmentul întreg, nu o jumătate.
Rezolvare completă
Ex. 2Unghiurile AOB și COD sunt opuse la vârf. Se știe că $m (∠ A O B) = 3 x + 1 0^{\circ}$ și $m (∠ C O D) = 7 0^{\circ}$ . Valoarea lui x este:
1. A)20
2. B)23
3. C)60
4. D)80
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Unghiurile opuse la vârf sunt congruente, deci $3 x + 1 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$ . Scad $1 0^{\circ}$ : $3 x = 6 0^{\circ}$ . Împart la 3: $x = 20$ . Verificare: $3 \cdot 20 + 10 = 70$ ✓. Cele două greșeli de aici sunt de tehnică, nu de geometrie: semnul la mutarea termenului liber și oprirea la $3 x$ .
Rezolvare completă
Ex. 3Triunghiul ABC este dreptunghic în B, cu $m (∠ C) = 3 0^{\circ}$ și AC = 16 cm. Lungimea catetei AB este:
1. A)4 cm
2. B)8 cm
3. C) $83$ cm
4. D)32 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Ipotenuza este AC = 16 cm, fiindcă unghiul drept e în B. Teorema catetei opuse unghiului de $3 0^{\circ}$ : ea este jumătatea ipotenuzei, deci $A B = 8$ cm. Cealaltă catetă iese din Pitagora: $B C^{2} = 256 - 64 = 192$ , deci $B C = 83$ cm. Grija de fiecare dată: identifică întâi ipotenuza, apoi vezi care unghi se opune cărei laturi.
Rezolvare completă
Ex. 4Rombul ABCD are diagonalele de 12 cm și 16 cm. Perimetrul rombului este:
1. A)20 cm
2. B)28 cm
3. C)40 cm
4. D)96 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci ele împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice cu catetele $12 : 2 = 6$ cm și $16 : 2 = 8$ cm. Latura rombului e ipotenuza unuia dintre ele: $l^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $l = 10$ cm. Perimetrul: $P = 4 \cdot 10 = 40$ cm. Din nou tripletul 6–8–10.
Rezolvare completă
Ex. 5Un sector de cerc corespunde unui unghi la centru de 120°, iar raza cercului este de 6 cm. Aria sectorului este:
1. A) $4 π$ cm²
2. B) $9 π$ cm²
3. C) $12 π$ cm²
4. D) $36 π$ cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria discului: $A = π R^{2} = 36 π$ cm². Sectorul de $12 0^{\circ}$ reprezintă $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ din disc, deci $36 π : 3 = 12 π$ cm². Formula generală: $A_{sector} = \frac{π R ^{2} \cdot n}{360}$ . Nu confunda cu lungimea arcului, care se măsoară în cm, nu în cm².
Rezolvare completă
Ex. 6Un tetraedru regulat (piramidă triunghiulară cu toate cele șase muchii egale) are muchia de 6 cm. Aria totală a tetraedrului este:
1. A) $93$ cm²
2. B) $183$ cm²
3. C) $363$ cm²
4. D) $1443$ cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Tetraedrul regulat are patru fețe, toate triunghiuri echilaterale de latură 6 cm. Aria unei fețe: $\frac{l ^{2} 3}{4} = \frac{36 3}{4} = 93$ cm². Aria totală: $4 \cdot 93 = 363$ cm². Aici nu se separă „aria laterală" de „aria bazei": toate fețele sunt la fel, deci aria totală este pur și simplu de patru ori aria unei fețe.
Rezolvare completă

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare problemă valorează 5 puncte, acordate pe pașii din barem — nu doar pe răspunsul final.

Ex. 1Trei prieteni au strâns împreună 240 de lei pentru un cadou. Al doilea a strâns de două ori mai mult decât primul, iar al treilea cu 40 de lei mai mult decât primul.
1. a) Arată că primul prieten a strâns 50 de lei.
  Vezi pașii din barem
  1. Notez cu x suma strânsă de primul; al doilea are 2x, al treilea x + 40, iar x + 2x + (x + 40) = 240. (1 pct)
  2. 4x + 40 = 240 ⇒ 4x = 200 ⇒ x = 50 de lei. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează suma strânsă de fiecare prieten și verifică rezultatul.
  Vezi pașii din barem
  1. Primul: 50 de lei; al doilea: 2 · 50 = 100 de lei. (1 pct)
  2. Al treilea: 50 + 40 = 90 de lei. (1 pct)
  3. Verificare: 50 + 100 + 90 = 240 de lei ✓, iar 100 = 2 · 50 și 90 = 50 + 40 ✓. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 2Se consideră expresia $E (x) = (x + 1) (x - 1) - (x - 2)^{2}$ , unde x este număr real.
1. a) Arată că $E (x) = 4 x - 5$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc diferența de pătrate și dezvoltarea pătratului: (x + 1)(x − 1) = x² − 1 și (x − 2)² = x² − 4x + 4. (1 pct)
  2. E(x) = (x² − 1) − (x² − 4x + 4) = x² − 1 − x² + 4x − 4 = 4x − 5. ✓ (1 pct)
2. b) Determină numerele naturale x pentru care $E (x) < 15$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Inecuația devine 4x − 5 < 15. (1 pct)
  2. 4x < 20 ⇒ x < 5. (1 pct)
  3. Numerele naturale mai mici decât 5 sunt 0, 1, 2, 3 și 4. (Atenție: x = 5 nu convine, fiindcă E(5) = 15, iar inecuația e strictă.) (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 3Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = - x + 4$ și $g (x) = 2 x - 5$ .
1. a) Arată că punctul în care graficele celor două funcții se intersectează are abscisa 3.
  Vezi pașii din barem
  1. În punctul de intersecție cele două funcții iau aceeași valoare, deci f(x) = g(x): −x + 4 = 2x − 5. (1 pct)
  2. 4 + 5 = 2x + x ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3. ✓ (1 pct)
2. b) Determină coordonatele punctului de intersecție și verifică rezultatul în ambele funcții.
  Vezi pașii din barem
  1. Ordonata: f(3) = −3 + 4 = 1. (1 pct)
  2. Verificare în cealaltă funcție: g(3) = 6 − 5 = 1, aceeași valoare ✓. (1 pct)
  3. Punctul de intersecție este P(3, 1). (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 4În figura alăturată, MN este diametru al cercului de centru O, iar punctul P se află pe cerc. Se știe că MP = 12 cm și NP = 16 cm. Triunghiul MNP este dreptunghic în P.
1. a) Arată că raza cercului este de 10 cm.
  Vezi pașii din barem
  1. În triunghiul MNP, dreptunghic în P, ipotenuza este MN: MN² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400, deci MN = 20 cm. (1 pct)
  2. MN este diametru, deci raza este jumătatea lui: 20 : 2 = 10 cm. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului MNP și distanța de la punctul P la diametrul MN.
  Vezi pașii din barem
  1. Catetele sunt MP = 12 cm și NP = 16 cm, deci aria = 12 · 16 : 2 = 96 cm². (1 pct)
  2. Distanța de la P la MN este înălțimea din P; aria se scrie și ca MN · înălțimea : 2. (1 pct)
  3. 96 = 20 · înălțimea : 2 ⇒ înălțimea = 9,6 cm. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 5Trapezul isoscel ABCD are bazele AB = 20 cm și CD = 8 cm, iar laturile neparalele de 10 cm fiecare.
1. a) Arată că înălțimea trapezului este de 8 cm.
  Vezi pașii din barem
  1. Duc înălțimea DE pe AB. Într-un trapez isoscel, proiecțiile laturilor neparalele pe baza mare sunt egale, deci AE = (20 − 8) : 2 = 6 cm. (1 pct)
  2. În triunghiul ADE, dreptunghic în E: DE² = 100 − 36 = 64, deci DE = 8 cm. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează aria și perimetrul trapezului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria = (20 + 8) · 8 : 2 = 112 cm². (1 pct)
  2. Perimetrul adună cele patru laturi: 20 + 8 + 10 + 10. (1 pct)
  3. Perimetrul = 48 cm. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 6Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ are latura bazei de 4 cm și înălțimea de 9 cm.
1. a) Calculează aria bazei prismei.
  Vezi pașii din barem
  1. Baza este triunghi echilateral de latură 4 cm, cu aria $\frac{l ^{2} 3}{4}$ . (1 pct)
  2. Aria bazei = 16√3 : 4 = 4√3 cm². (1 pct)
2. b) Calculează aria laterală și volumul prismei.
  Vezi pașii din barem
  1. Fețele laterale sunt trei dreptunghiuri de 4 cm pe 9 cm. (1 pct)
  2. Aria laterală = 3 · 4 · 9 = 108 cm². (1 pct)
  3. Volumul = aria bazei · înălțimea = 4√3 · 9 = 36√3 cm³. (1 pct)
Rezolvare completă

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.