Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 17

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 17 (EN VIII, original)

Variantă scrisă pe blueprintul oficial, poziție cu poziție: puterea înaintea înmulțirii, cel mai mare număr de două cifre divizibil cu 7, expresie evaluată într-un număr negativ ($a^2 - 2a$ pentru $a = -3$), ecuație cu fracție, slotul „patru elevi au calculat" pe media a trei radicali exacți, media dintr-un tabel cu o valoare nulă (capcana împărțirii la 4 în loc de 5), mijlocul unui segment pe patru puncte coliniare, unghiuri adiacente complementare cu diferență dată, Pitagora pe tripletul 9–12–15, diagonala dreptunghiului, aria discului dat prin diametru, volumul prismei drepte cu bază pătrat, problemă cu roți rezolvată prin ecuație, $(x+2)^2 - (x-2)^2 = 8x$, punct pe graficul unei funcții și punctul cu abscisa egală cu ordonata, coardă și distanța de la centru la coardă, trapez dreptunghic (arie + perimetru), piramidă patrulateră regulată (apotemă, arie laterală, volum).

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 15 minute — Subiectele I și II, împreună, sub 30 de minute.

Ex. 1Rezultatul calculului $2 \cdot 3^{2} - 4$ este:
1. A)8
2. B)10
3. C)14
4. D)32
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Ordinea operațiilor: puteri, apoi înmulțiri și împărțiri, apoi adunări și scăderi. $3^{2} = 9$ , $2 \cdot 9 = 18$ , $18 - 4 = 14$ . Exponentul se lipește doar de numărul de sub el: în $2 \cdot 3^{2}$ se ridică la pătrat numai 3.
Rezolvare completă
Ex. 2Cel mai mare număr natural de două cifre divizibil cu 7 este:
1. A)91
2. B)96
3. C)98
4. D)99
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Caut cel mai mare multiplu al lui 7 sub 100: $99 : 7 = 14$ rest $1$ , deci $7 \cdot 14 = 98$ . Metoda generală: împarți 99 la 7, iei câtul întreg și îl înmulțești înapoi cu 7.
Rezolvare completă
Ex. 3Dacă $a = - 3$ , atunci valoarea expresiei $a^{2} - 2 a$ este:
1. A)3
2. B)9
3. C)15
4. D)-15
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Înlocuiesc cu atenție la semne: $(- 3)^{2} = 9$ (exponent par ⇒ pozitiv), iar $- 2 \cdot (- 3) = + 6$ (minus cu minus dă plus). Deci $a^{2} - 2 a = 9 + 6 = 15$ . Cele două capcane sunt exact aici: pătratul unui număr negativ și semnul care se schimbă la înmulțire.
Rezolvare completă
Ex. 4Soluția ecuației $\frac{x - 1}{3} = 4$ , unde x este număr real, este:
1. A)11
2. B)12
3. C)13
4. D)15
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Scap de numitor înmulțind ambii membri cu 3: $x - 1 = 12$ . Apoi mut termenul liber: $x = 13$ . Verificarea e obligatorie la ecuațiile cu fracții: $\frac{13 - 1}{3} = \frac{12}{3} = 4$ ✓.
Rezolvare completă
Ex. 5Patru elevi, Alin, Bianca, Cosmin și Dana, au calculat media aritmetică a numerelor $16$ , $25$ și $81$ , obținând rezultatele din tabel. Elevul care a calculat corect este:
1. A)Alin
2. B)Bianca
3. C)Cosmin
4. D)Dana
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Întâi scot radicalii, care sunt toți exacți: $16 = 4$ , $25 = 5$ , $81 = 9$ . Media aritmetică a trei numere este suma împărțită la 3: $\frac{4 + 5 + 9}{3} = \frac{18}{3} = 6$ . Greșeala cea mai frecventă e să te oprești la sumă.
Rezolvare completă
Ex. 6Tabelul de mai jos arată câte puncte a obținut o echipă în cele 5 meciuri ale unui turneu. Media numărului de puncte pe meci este:
1. A)1,2
2. B)1,6
3. C)2
4. D)8
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Media aritmetică = suma valorilor împărțită la numărul lor: $\frac{3 + 1 + 0 + 3 + 1}{5} = \frac{8}{5} = 1, 6$ . Capcana e meciul cu 0 puncte: el intră în numărătoare, altfel ai împărți la 4 și ai obține 2.
Rezolvare completă

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Figurile sunt orientative, nu la scară.

Ex. 1Pe o dreaptă se consideră punctele A, B, C și D, în această ordine, astfel încât AB = BC = CD = 5 cm. Dacă M este mijlocul segmentului AD, atunci lungimea segmentului MC este:
1. A)2,5 cm
2. B)5 cm
3. C)7,5 cm
4. D)10 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Lungimea totală: $A D = 3 \cdot 5 = 15$ cm, deci $A M = 7, 5$ cm. Punctul C se află la $A C = 2 \cdot 5 = 10$ cm de A. Cum $7, 5 < 10$ , M cade între B și C, iar $M C = A C - A M = 10 - 7, 5 = 2, 5$ cm. Mijlocul lui AD nu coincide cu B și nici cu C — de asta e nevoie de calcul, nu de privit figura.
Rezolvare completă
Ex. 2Unghiurile AOB și BOC sunt adiacente complementare, iar $m (∠ A O B) - m (∠ B O C) = 3 0^{\circ}$ . Măsura unghiului AOB este:
1. A)30°
2. B)45°
3. C)60°
4. D)75°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Complementare înseamnă că suma măsurilor este $9 0^{\circ}$ . Am sistemul $x + y = 9 0^{\circ}$ și $x - y = 3 0^{\circ}$ . Adun cele două relații: $2 x = 12 0^{\circ} \Rightarrow x = 6 0^{\circ}$ , apoi $y = 3 0^{\circ}$ . Verificare: $6 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ și $6 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ ✓.
Rezolvare completă
Ex. 3Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 9 cm și AC = 12 cm. Lungimea ipotenuzei BC este:
1. A)3 cm
2. B)15 cm
3. C)20 cm
4. D)21 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Teorema lui Pitagora: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 81 + 144 = 225$ , deci $B C = 225 = 15$ cm. Tripletul 9–12–15 este 3–4–5 înmulțit cu 3; merită ținut minte, apare des. Control rapid: ipotenuza e mai mare decât fiecare catetă (15 > 12) și mai mică decât suma lor (15 < 21) ✓.
Rezolvare completă
Ex. 4Dreptunghiul ABCD are AB = 8 cm și BC = 6 cm. Lungimea diagonalei AC este:
1. A)7 cm
2. B)10 cm
3. C)14 cm
4. D)48 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Diagonala împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice. În triunghiul ABC, unghiul din B este drept, deci $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 64 + 36 = 100$ și $A C = 10$ cm. Din nou tripletul 6–8–10, adică 3–4–5 dublat.
Rezolvare completă
Ex. 5Aria unui disc de diametru 10 cm este egală cu:
1. A) $10 π$ cm²
2. B) $25 π$ cm²
3. C) $50 π$ cm²
4. D) $100 π$ cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Formula ariei discului lucrează cu RAZA: $A = π R^{2}$ . Diametrul dat este 10 cm, deci $R = 5$ cm și $A = π \cdot 25 = 25 π$ cm². Confuzia rază/diametru se plătește de patru ori, fiindcă raza apare la pătrat.
Rezolvare completă
Ex. 6O prismă dreaptă are baza pătrat cu latura de 4 cm și înălțimea de 7 cm. Volumul prismei este egal cu:
1. A)28 cm³
2. B)84 cm³
3. C)112 cm³
4. D)448 cm³
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Volumul oricărei prisme drepte: $V = A_{baz \overset{a}{˘}} \cdot h$ . Baza e pătrat cu latura 4 cm, deci $A_{baz \overset{a}{˘}} = 16$ cm², iar $V = 16 \cdot 7 = 112$ cm³. Greșeala tipică e să înmulțești latura cu înălțimea; volumul cere aria bazei, adică latura la pătrat.
Rezolvare completă

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare problemă valorează 5 puncte, acordate pe pașii din barem — nu doar pe răspunsul final.

Ex. 1Într-o parcare sunt numai mașini și motociclete, în total 30 de vehicule, care au împreună 100 de roți. O mașină are 4 roți, iar o motocicletă are 2 roți.
1. a) Arată că în parcare sunt 20 de mașini.
  Vezi pașii din barem
  1. Notez cu x numărul mașinilor; atunci motocicletele sunt 30 − x, iar numărul roților este 4x + 2(30 − x) = 100. (1 pct)
  2. 4x + 60 − 2x = 100 ⇒ 2x = 40 ⇒ x = 20 mașini (și 10 motociclete). ✓ (1 pct)
2. b) Câte roți ar fi în parcare dacă ar pleca 5 mașini și ar veni 5 motociclete?
  Vezi pașii din barem
  1. După schimbare: 20 − 5 = 15 mașini și 10 + 5 = 15 motociclete. (1 pct)
  2. Roți de la mașini: 15 · 4 = 60. (1 pct)
  3. Roți de la motociclete: 15 · 2 = 30, deci în total 60 + 30 = 90 de roți. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 2Se consideră expresia $E (x) = (x + 2)^{2} - (x - 2)^{2}$ , unde x este număr real.
1. a) Arată că $E (x) = 8 x$ pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Desfac ambele pătrate: (x + 2)² = x² + 4x + 4 și (x − 2)² = x² − 4x + 4. (1 pct)
  2. E(x) = (x² + 4x + 4) − (x² − 4x + 4) = 8x. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează $E (2026) - E (2025)$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc forma găsită: E(2026) − E(2025) = 8·2026 − 8·2025. (1 pct)
  2. Dau factor comun pe 8: 8·(2026 − 2025). (1 pct)
  3. 8 · 1 = 8. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 3Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 6$ .
1. a) Arată că punctul $A (4, 6)$ aparține graficului funcției f.
  Vezi pașii din barem
  1. Un punct aparține graficului dacă ordonata lui este valoarea funcției în abscisă: calculez f(4). (1 pct)
  2. f(4) = 3·4 − 6 = 6, adică exact ordonata punctului A, deci A aparține graficului. ✓ (1 pct)
2. b) Determină coordonatele punctului de pe graficul funcției f care are abscisa egală cu ordonata.
  Vezi pașii din barem
  1. Condiția „abscisa egală cu ordonata" se scrie f(x) = x. (1 pct)
  2. 3x − 6 = x ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3. (1 pct)
  3. Punctul căutat este B(3, 3). Verificare: f(3) = 9 − 6 = 3 ✓. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 4În figura alăturată, AB este o coardă a cercului de centru O și rază 13 cm. Punctul M aparține coardei AB, iar OM este perpendiculară pe AB, cu OM = 5 cm.
1. a) Arată că AB = 24 cm.
  Vezi pașii din barem
  1. Triunghiul OMA este dreptunghic în M, cu ipotenuza OA = 13 cm (rază) și cateta OM = 5 cm; Pitagora dă AM² = 169 − 25 = 144, deci AM = 12 cm. (1 pct)
  2. Perpendiculara din centru pe o coardă cade în mijlocul coardei, deci AB = 2 · AM = 24 cm. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului OAB.
  Vezi pașii din barem
  1. În triunghiul OAB, latura AB poate fi luată drept bază. (1 pct)
  2. Înălțimea corespunzătoare este chiar OM = 5 cm, fiindcă OM este perpendiculară pe AB. (1 pct)
  3. Aria = 24 · 5 : 2 = 60 cm². (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 5Trapezul dreptunghic ABCD are bazele AB = 10 cm și CD = 4 cm, latura AD perpendiculară pe cele două baze, iar AD = 8 cm.
1. a) Calculează aria trapezului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Latura AD este perpendiculară pe baze, deci ea este chiar înălțimea trapezului: h = 8 cm. (1 pct)
  2. Aria = (10 + 4) · 8 : 2 = 56 cm². (1 pct)
2. b) Calculează perimetrul trapezului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Duc din C perpendiculara CE pe AB; atunci AECD este dreptunghi, deci AE = 4 cm și EB = 10 − 4 = 6 cm. (1 pct)
  2. În triunghiul CEB, dreptunghic în E: BC² = 6² + 8² = 100 ⇒ BC = 10 cm. (1 pct)
  3. Perimetrul: 10 + 10 + 4 + 8 = 32 cm. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 6Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei de 6 cm și înălțimea de 4 cm.
1. a) Arată că apotema piramidei (înălțimea unei fețe laterale) este de 5 cm.
  Vezi pașii din barem
  1. Apotema bazei este jumătate din latura pătratului: 6 : 2 = 3 cm. (1 pct)
  2. Într-un triunghi dreptunghic format din înălțimea piramidei, apotema bazei și apotema piramidei: apotema² = 4² + 3² = 25, deci apotema = 5 cm. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează aria laterală și volumul piramidei.
  Vezi pașii din barem
  1. Perimetrul bazei: 4 · 6 = 24 cm. (1 pct)
  2. Aria laterală = perimetrul bazei · apotema : 2 = 24 · 5 : 2 = 60 cm². (1 pct)
  3. Volumul = aria bazei · înălțimea : 3 = 36 · 4 : 3 = 48 cm³. (1 pct)
Rezolvare completă

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.